Question

a,b,c均为非负实数，ab+bc+ca=1，求证a/√(a^2+ab+b^2+1)+b/√(b^2+bc+c^2+1)+c/√(c^2+ca+c^2+1)＜＝5/4

√代表根号
等号成立条件为（a，b，c）=（0，√3，√3/3）
原题有误，现更正下：已知a,b,c均为非负实数，ab+bc+ca=1，求证a/√(a^2+ab+b^2+1)+b/√(b^2+bc+c^2+1)+c/√(c^2+ca+a^2+1)＜＝5/4
求证的是一个轮换式

Answer 1

a,b,c均为非负实数，ab+bc+ca=1，求证a/√(a^2+ab+b^2+1)+b/√(b^2+bc+c^2+1)+c/√(c^2+ca+c^2+1)＜＝5/4

因为a/√(a^2+ab+b^2+1)+b/√(b^2+bc+c^2+1)+c/√(c^2+ca+a^2+1)是三项之和，为求整个式子的值，得考虑能分，
一、先来看分母：
因为ab+bc+ac=1, (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=a²+b²+c²+2
第一项分母的根号内, 从ab+bc+ca=1, 可得1-ab=c(a+b)
a²+ab+b²+1=(a+b+c)²-c²-2+ab+1
=(a+b+c)²-c²-(1-ab)
=(a+b+c)²-c²-c(a+b)
=(a+b+c)²-c(a+b+c)
同样的方法可得
第二项分母的根号内是
b²+bc+c²+1=(a+b+c)²-a(a+b+c)
第三项分母的根号内是
c²+ca+a²+1=(a+b+c)²-b(a+b+c)
令x=a+b+c,
这样就有公分母等于:
(x²-cx)(x²-ax)(x²-bx)
=x^6-(a+b+c)x^5+(ab+bc+ac)x^4-abcx^3
=x^6-x^6+x^4-abcx³
=x^4-abcx³
二、再来看三个分子的情况
三项相加时，第一项的分子是
a√(x²-ax)√(x²-bx)
=a√x²[x²-(a+b)x+ab)]
=a√x²[x²-(a+b+c)x+cx+ab)]
=a√x²[x²-x²+cx+ab)]
=a√x²(cx+ab)
同样的方法，可求出
第二项的分子是 b√(x²-cx)√(x²-bx)
=b√x²(ax+bc)
第三项的分子是 c√(x²-cx)(x²-ax)
=c√x²(bx+ca)
三、三项相加是：
[a√x²(cx+ab)+b√x²(ax+bc)+c√x²(bx+ca)]/√[x^4-abcx³]
=[a√(cx+ab)+b√(ax+bc)+c√(bx+ca)]/√[x²-abcx]
根据√(mn)≤(m+n)/2的原理，可得
a√(cx+ab)=√a²*(cx+ab)≤(a²+cx+ab)/2
b√(ax+bc)≤(b²+ax+bc)/2
c√(bx+ca)≤(c²+bx+ca)/2
所以有 [a√(cx+ab)+b√(ax+bc)+c√(bx+ca)]≤(a²+cx+ab)/2+(b²+ax+bc)/2+(c²+bx+ca)/2
=(a²+b²+c²+x(a+b+c)+ab+bc+ca)/2
=[(a+b+c)²-(ab+bc+ca)+x(a+b+c)]/2
=(x²-1+x²)/2=x²-1/2
原式≤(x²-1/2)/√(x^4-abcx³)

Answer 2

写的不是很详细,凑合着看

a,b,c均为非负实数，ab+bc+ca=1，求证a/√(a^2+ab+b^2+1)+b/√(b^2+bc+c^2+1)+c/√(c^2+ca+c^2+1)＜＝5/4

因为a/√(a^2+ab+b^2+1)+b/√(b^2+bc+c^2+1)+c/√(c^2+ca+a^2+1)是三项之和，为求整个式子的值，得考虑能分，
一、先来看分母：
因为ab+bc+ac=1, (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=a²+b²+c²+2
第一项分母的根号内, 从ab+bc+ca=1, 可得1-ab=c(a+b)
a²+ab+b²+1=(a+b+c)²-c²-2+ab+1
=(a+b+c)²-c²-(1-ab)
=(a+b+c)²-c²-c(a+b)
=(a+b+c)²-c(a+b+c)
同样的方法可得
第二项分母的根号内是
b²+bc+c²+1=(a+b+c)²-a(a+b+c)
第三项分母的根号内是
c²+ca+a²+1=(a+b+c)²-b(a+b+c)
令x=a+b+c,
这样就有公分母等于:
(x²-cx)(x²-ax)(x²-bx)
=x^6-(a+b+c)x^5+(ab+bc+ac)x^4-abcx^3
=x^6-x^6+x^4-abcx³
=x^4-abcx³
二、再来看三个分子的情况
三项相加时，第一项的分子是
a√(x²-ax)√(x²-bx)
=a√x²[x²-(a+b)x+ab)]
=a√x²[x²-(a+b+c)x+cx+ab)]
=a√x²[x²-x²+cx+ab)]
=a√x²(cx+ab)
同样的方法，可求出
第二项的分子是 b√(x²-cx)√(x²-bx)
=b√x²(ax+bc)
第三项的分子是 c√(x²-cx)(x²-ax)
=c√x²(bx+ca)
三、三项相加是：
[a√x²(cx+ab)+b√x²(ax+bc)+c√x²(bx+ca)]/√[x^4-abcx³]
=[a√(cx+ab)+b√(ax+bc)+c√(bx+ca)]/√[x²-abcx]
根据√(mn)≤(m+n)/2的原理，可得
a√(cx+ab)=√a²*(cx+ab)≤(a²+cx+ab)/2
b√(ax+bc)≤(b²+ax+bc)/2
c√(bx+ca)≤(c²+bx+ca)/2
所以有 [a√(cx+ab)+b√(ax+bc)+c√(bx+ca)]≤(a²+cx+ab)/2+(b²+ax+bc)/2+(c²+bx+ca)/2
=(a²+b²+c²+x(a+b+c)+ab+bc+ca)/2
=[(a+b+c)²-(ab+bc+ca)+x(a+b+c)]/2
=(x²-1+x²)/2=x²-1/2
原式≤(x²-1/2)/√(x^4-abcx³)

Answer 3

如果学过微积分，建议用多元微积分的方法来解；求偏导数可能有点麻烦；
1、引进一个拉普拉斯参数p,则p(ab+bc+ca-1)；其中a,b,c均为非负为边界条件；
2、令f(a,b,c,p)=不等式左边-p(ab+bc+ca-1)
3、依次对a,b,c,p求偏导，再令偏导等于0；
4、可以得到4个方程，解之可以得到一系列的a,b,c,p值；
5、将a,b,c,p值代入原不等式就可以得到一系列极值；
6、判断该极值是极大还是极小；就能得出结果。

Answer 4

完整过程太麻烦了，我就给个提示：
三角换元，a=tanA,b=tanB,c=tanC
则条件可化为
tanA=cot(B+C)
A+B+C=pi/2
然后代入原不等式切割化弦。

Answer 5

待会给你答案

楼主的问题没写错吗？

将（a，b，c）=（0，√3，√3/3）代入时不等于5/4啊。

还有， c/√(c^2+ca+c^2+1)有两个c²啊