Question

如图，等边△ABD和等边△CBD的边长均为a，现在把他们拼合起来

E是AD上异于A,D两点的一个动点，F是CD上的一个动点，满足AE+CF=a
1）E,F移动是，△BEF的形状如何？
2）求△BEF面积的最小值.

Answer 1

如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？
根据等边三角形各边长相等和内角为60°的性质，可以求得△BDE≌△BCF，即可求得∠FBD+∠DBE=60°，根据一个内角为60°的等腰三角形可以判定为等边三角形，即可解题．解答：解：△BEF为正三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
BD=BC∠BCF=∠BDE=60°DE=CF，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形．

Answer 2

（1）结论：△BEF为等边三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，BD=BC,∠BCF=∠BDE=60°，DE=CF
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形．

Answer 3

解：△BEF为正三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
BD=BC ∠BCF=∠BDE=60° DE=CF ，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形．

Answer 4

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