Question

如图在圆o中 AB是直径。P为AB上一点,角NPB=45.

1. AP=2 BP=6 求MN的长
2. 若MP=3 NP=5 求AB的长
3. 当P 在AB上运动时（∠NPB度数保持不变），试问：PM的平方+PN的平方/AB的平方 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其值的范围。

Answer 1

1 因直径AB=AP+BP=2+6=8，所以半径OA=8/2=4，OP=OA-AP=4-2=2.又角MPB=45度，故作OH垂直MN，垂足为H，三角形OHP是等腰直角三角形。OH=HP，而OH^2+PH^2=OP^2,所以，OH=PH=OP/(根号2)=根号2.再，过圆心的垂直弦平分弦，故MH=NH，连接OM，在直角三角形OHM中，利用勾股定理，MH^2=MO^2-OH^2=4^2-(根号2)^2=14,MH=根号14,因此，MP=根号14-根号2，NP=根号14+根号2，MN=2根号14.2 若MP=3，NP=5，那么，MN=3+5=8，MH=8/2=4，PH=1.由于三角形OHP是等腰直角三角形，OH=HP=1，在直角三角形MHO中利用勾股定理，OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17,所以，OM=根号17，直径AB=2根号17.
3 因MH=NH，OH=HP，OH垂直MN，那么PM^2+PN^2=(MH-HP)^2+(PH+HN)^2=(MH-HP)^2+(MH+HP)^2=2(MH^2+HP^2)=2(MH^2+HO^2)=2OM^2所以，(PM^2+PN^2)/AB^2=2OM^2/(2OM)^2=1/2.可见，P变化时，比值不变，总为1/2.

Answer 2

①
作OH⊥MN，连接OM
∵AB=AP+BP=2+6=8
∴半径OA=8/2=4，OP=OA-AP=4-2=2
又∵∩MPB=45°
∵OH⊥MN
∴△OHP是等腰三角形
∵OH=HP
OH^2+PH^2=OP^2
∴OH=PH=OP=根号2
∵OH⊥MN
∴MP=PN
在RT△OHM中
MH^2=MO^2-OH^2=4^2-(根号2)^2=14
即MH=根号14
∴MP=根号14-根号2，NP=根号14+根号2
MN=2根号14

②
∵MP=3，NP=5
∴MN=3+5=8，MH=8/2=4 ，PH=1
∵△OHP是等腰直角三角形，OH=HP=1
∴在RT△MHO中
OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17
即OM=根号17
∴直径AB=2根号17

③ ∵MH=NH，OH=HP，OH⊥MN
∴PM^2+PN^2=(MH-HP)^2+(PH+HN)^2=(MH-HP)^2+(MH+HP)^2=2(MH^2+HP^2)=2(MH^2+HO^2)=2OM^2
即(PM^2+PN^2)/AB^2=2OM^2/(2OM)^2=1/2