Question

如图,在圆O中,AB是直径,P是AB上一点,且∠NPB=45°。(1)如图1,若点P与圆心O重合时

求（MP²+NP²）/AB²的值；（2）如图，若MP[=1，NP=7，求（MP²+NP²）/AB²的值；（3）如图，当P点在AB上运动时，（2）中结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围

Answer 1

1∵P与圆心O重合
所以MP=PN=AP=PB
所以（MP²+NP²）/AB²=（MP²+MP²）/（2MP）²=二分之一
2 作OC垂直MN于C
所以NC=CM因为MP=1，NP=7
所以MN=8所以NC=CM=4
所以CP等于3
因为∠NPB=45°所以CP=CO
所以ON=5因为AO=OB=ON
所以AB=10所以（MP²+NP²）/AB²=12+7²除以10²=二分之一
3 因MC=NC，OC=CP，OH垂直MN，那么PM^2+PN^2=(MC-CP)^2+(PC+N)^2=(MC-CP)^2+(MC+CP)^2=2(MC^2+CP^2)=2(MC^2+CO^2)=2OM^2所以，(PM^2+PC^2)/AB^2=2OM^2/(2OM)^2=1/2.可见，P变化时，比值不变，总为1/2.