Question

已知f（x）的定义域为R，当X＞0时f（x）＞1，且对任意X,Y∈R，f(x+y)=f(x)·f(y），求解不等式 f（x）＜1/

已知f（x）的定义域为R，当X＞0时f（x）＞1，且对任意X,Y∈R，f(x+y)=f(x)·f(y），求解不等式 f（x）＜1/f(2x+1)

Answer 1

解：令y=0，则有f(x)=f(x)f(0),因为f(x)=0不恒成立，故f(0)=1,f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2≥0,
令x1<x2,且x2=x1+k(k>0),则f(x2)-f(x1)=f(x1+k)-f(x1)=f(x1)f(k)-f(x1)=f(x1)[f(k)-1)],因为k>0,所以f(k)>1,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在R上单调递增，f（x）＜1/f(2x+1)即f(x)f(2x+1)<1,即f(x+2x+1)=f(3x+1)<f(0)，所以3x+1<0,得x<-1/3

Answer 2

令y=0，则有f(x)=f(x)f(0),因为f(x)=0不恒成立，故f(0)=1,f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2≥0,
令x1<x2,且x2=x1+k(k>0),则f(x2)-f(x1)=f(x1+k)-f(x1)=f(x1)f(k)-f(x1)=f(x1)[f(k)-1)],因为k>0,所以f(k)>1,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在R上单调递增，f（x）＜1/f(2x+1)即f(x)f(2x+1)<1,即f(x+2x+1)=f(3x+1)<f(0)