Question

求解一道高一数学题

周长为定值a的扇形，它的面积S是这个扇形的半径R的函数，则函数的定义域是（a/2(1+π)，a/2）
帮忙告下详细过程谢谢~

Answer 1

解：扇形周长是定值a，半径是R，
那么弧长是l=a-2R。
扇形面积s=lR/2=（a-2R）R/2
得到函数s（R）=-R^2+（a/2）R
由于R是半径长，所以R>0；
又由于l=a-2R是弧长，所以a-2R>0，即R<a/2
所以函数定义域是0<R<a/2 ……①
因为弧长l和半径R在弧度制下有关系式：l=θR，
其中θ是圆心角，弧度制下的范围是0<=θ<2π
由l=a-2R=θR可得θ=a/R-2
这样0<=a/R-2<2π，
在R>0的条件下可解得a/(2π+2)<R<=a/2 ……②
综合①②得，定义域的范围是：
a/(2π+2)<R<a/2

Answer 2

其实就是周长为a的扇形的半径的范围的问题。

想象一下，如果这个扇形中心角很小，趋于0的时候，周长就是两个半径+很短的一段弧，弧趋于0，所有可以得到R的右边界是a/2，但不能取到。
同理，如果扇形几乎成一个圆，也就是中心角趋于360度，那么周长就是两个半径+弧，弧趋于2πR，所以a=2R+2πR，就得到左边界。同理也取不到。

所以是R属于（a/2(1+π)，a/2）

Answer 3

S=R*（A-2R）/2 A-2R大于0 所以R小于A/2
周长A-2r=弧长 弧长小于那个圆的周长 所以A-2R小于2πr A-2R小于2πR
R大于a/2(1+π)

Answer 4

设扇形的圆心角m, 0<m<2π
则：a=mR+2R<2πR+2R=2R(1+π)
R>a/[2(1+π)]

而：a=mR+2R, mR=a-2R>0, 则：R<a/2

S=[m/(2π)]πR^2=(1/2)mR^2=(1/2)R*mR=(1/2)R*(a-2R)
函数的定义域是（a/[2(1+π)]，a/2）