Question

设z是虚数,w=z+1/z是实数,且-1<w<2.求|z|的值及z的实部取值范围

Answer 1

1. Z=a+bi
1/z=a/(a^2+b^2)-b/(a^2+b^2)i
Z+Z分之一是实数，
b-b/(a^2=b^2)=0
a^2+b^2=1 |Z|=√(a^2+b^2)=1
-1<a+a/(a^2+b^2)<2
-1<2a<2 -1/2<a<1
2. U=(1+Z分之)[1—Z]
=(1-a-bi)/(1+a+bi)
=(1-a-bi)(1+a-bi)/(1+a+bi)(1+a-bi)
=-2bi/(2+2a)
=-bi/(1+a) 为纯虚数
3. W=2a U=-bi/(1+a)
W-U^2
=2a+b^2/(1+a)^2
=2a-1+2/(1+a) -1/2<a<1
>=1 a=0取最小值

Answer 2

设z=a+bi, b≠0
则 w=a+bi+1/(a+bi)=a+bi+(a-bi)/(a�0�5+b�0�5)属于R
所以 b-b/(a�0�5+b�0�5)=0
因为 b≠0
所以 a�0�5+b�0�5=1
所以 |z|=√(a�0�5+b�0�5)=1
所以 w=2a
由已知 -1<2a<2
所以 -1/2<a<1

所以 |z|=1,实部属于（-1/2，1）

Answer 3

1.
Z=a+bi
1/z=a/(a^2+b^2)-b/(a^2+b^2)i
Z+Z分之一是实数，
b-b/(a^2=b^2)=0
a^2+b^2=1
|Z|=√(a^2+b^2)=1
-1<a+a/(a^2+b^2)<2
-1<2a<2
-1/2<a<1
2.
U=(1+Z分之)[1—Z]
=(1-a-bi)/(1+a+bi)
=(1-a-bi)(1+a-bi)/(1+a+bi)(1+a-bi)
=-2bi/(2+2a)
=-bi/(1+a)
为纯虚数
3.
W=2a
U=-bi/(1+a)
W-U^2
=2a+b^2/(1+a)^2
=2a-1+2/(1+a)
-1/2<a<1
>=1
a=0取最小值