Question

设z是虚数，w=z+1/z是实数，且-1<w<2，求z的值及z的实部的取值范围。

Answer 1

1、设z=x+yi(x、y∈R，y≠0)，w=x+yi+1/(x+yi)=x+x/(x²+y²)+[y-y/(x²+y²)]i
由w是实数，得y-y/(x²+y²=0，由y≠0得x²+y²=1。
所以|z|=1。
于是w=2x，所以-1<2x<21，所以-1/2<x<1。即z的实部的取值范围是(-1/2，1)。
2、u=(1-z)/(1+z)=(1-x-yi)/(1+x+yi)=(1-x-yi)(1+x-yi)/(1+x+yi)(1+x-yi)=(1-x²-y²-2yi)/[(1+x)²+y²]=-2yi/(1+2x+x²+y²)=-yi/(1+x)。
因为y≠0，1+x>0，所以u为纯虚数。

Answer 2

这个我答过的
设z=a+bi, b≠0，a,b都是实数
则 w=a+bi+1/(a+bi)=a+bi+(a-bi)/(a²+b²)属于R
所以 b-b/(a²+b²)=0
因为 b≠0
所以 a²+b²=1
所以 |z|=√(a²+b²)=1
所以 w=2a
由已知 -1<2a<2
所以 -1/2<a<1

所以 |z|=1,实部属于（-1/2，1）

Answer 3

设z=a+bi
w=a+bi+1/(a+bi)=a+bi+[(a-bi)/(a+bi)(a-bi)]=[(a^3+ab^2+a)+(a^2b+b^3-b)i]/(a^2+b^2)
∵w为实数
∴(a^2b+b^3-b)i=0
∴a^2b+b^3-b=0
∴b(a^2+b^2-1)=0
∵b≠0
∴a^2+b^2=1
∴|z|=根号下（a^2+b^2）=1
w=[(a-bi)/(a+bi)(a-bi)]=[(a^3+ab^2+a)+(a^2b+b^3-b)i]/(a^2+b^2)=a^3+ab^2+a=a(a^2+b^2+1)=2a
∵-1<w<2
∴-1/2<a<1

Answer 4

设z=a+bi, b≠0则 w=a+bi+1/(a+bi)=a+bi+(a-bi)/(a²+b²)∈R∴ b-b/(a²+b²)=0∵ b≠0∴a²+b²=1∴ |z|=√(a²+b²)=1∴ w=2a由已知 -1<2a<2∴ -1/2<a<1∴ |z|=1,实部∈（-1/2，1）