Question

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b)

求证:(1)f(0)=1;
(2)对任意的x∈R,恒有f(x)>0.

Answer 1

证：令a=b=0，得f（0)=f(0)*f(0),因为f(0)≠0，所以f（0）=1，即证

2）、令b=-a，得f（0）=f（a）*f（-a）=1

当a>0时，f（a）>0,所以f（-a）>0

又知f（0）=1

所以对任意的x∈R,恒有f(x)>0.

Answer 2

1.令a,b=0,则f(0)=f(0)*f（0）,得f(0)=1或0(舍)
2.f(0)=f(x)*f(-x),得1=f(x)*f(-x),
当x=0时，f（0）=1
当x≠0时，f(0)=f(x)*f(-x),当x小于0时则-x大于0,f(x)=1/(f<-x>) >0
由题意可知当x大于零时，f（x）>0
综上所述，x∈R时，恒有f(x)>0.