Question

已知f（x）=（1+4＾x）/（1－4＾x

已知f（x）=（1+4＾x）/（1－4＾x）
1。求f（x）的定义域，值域
2。求证：f（x）为奇函数
3。讨论单调性并证明

Answer 1

1.
由题1-4^x≠0
解得x≠1
f(x)=(1+4^x)/(1-4^x)
=[-(1-4^x)+2]/(1-4^x)
=-1+2/(1-4^x)
1-4^x<1当1-4^x=1时f(x)=1
函数值域(-∞,-1)∪(1,+∞)
2.
f(-x)=[1+4^(-x)]/[1-4^(-x)] (分子分母同乘以4^x)
=(4^x+1)/(4^x-1)
f(x)+f(-x)=0即f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数
3.
令t(x)=1-4^x显然t(x)减函数
f(x)=-1+2/t为减函数
由函数增减性
f(x)=(1+4^x)/(1-4^x)为增函数！！

Answer 2

1) 1-4^X<>0 即 X<>0
所以定义域是X<>0
F(X)=2/(1-4^X)-1
因为 4^X>0 ==>1-4^X<1
所以F(X)>2-1=1
所以F(X)值域为F(X)>1

2)因为F(-X)=(1+4^(-X))/(1-4^(-X))=-(1+4^X)/(1-4^X)
所以F(X)是奇函数

3).F(X)=2/(1-4^X)-1
因为4^X是单调递增函数
则1-4^X是单调递减函数
则1/(1-4^X)是单调递增函数
所以F(X)是是单调递增函数
但注意,X的定义域,即不包括X=0点