Question

数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)Sn/n(n=1,2,3····),证明数列{Sn/n}

数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)Sn/n（n=1,2,3····），证明数列{Sn/n}是等比数列

Answer 1

由a(n+1)=(n+2)Sn/n
而a(n+1)=S(n+1)-Sn
所以S(n+1)-Sn=(n+2)Sn/n
化为S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
则数列{Sn/n}是首项为1，公比为2的等比数列
所以Sn/n=2^(n-1)

Answer 2

an+1=Sn+1-Sn=(n+2)Sn/n=(n+1)Sn/n+Sn/n
所以Sn+1=2(n+1)Sn/n
两边乘以n,除以(n+1)Sn得nSn+1/((n+1)Sn)=2
即Sn+1/n+1比上Sn/n等于2
所以{Sn/n}是等比数列

Answer 3

由已知，
Sn+1-Sn=（n+2）/n*Sn
Sn+1=（2n+2）/n*Sn
所以
（Sn+1）/（Sn）=2*（Sn/n）
S1/1=a1/1=1
即数列{Sn/n}是首项为1，公比为2的等比数列