Question

： 　　已知椭圆Ｅ：ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／３＝１（ａ＞√３）的离心率ｅ＝１／２．直线ｘ＝ｔ（ｔ＞０

：
　　已知椭圆Ｅ：ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／３＝１（ａ＞√３）的离心率ｅ＝１／２．直线ｘ＝ｔ（ｔ＞０）与曲线Ｅ交于不同的两点Ｍ，Ｎ，以线段ＭＮ为直径作圆Ｃ，圆心为Ｃ．（１）求椭圆Ｅ的方程；（２）若圆Ｃ与ｙ轴相交于不同的两点Ａ，Ｂ，求三角形ＡＢＣ的面积的最大值

Answer 1

(1)e=c/a=1/2,
∴(c/a)^2=(a^2-3)/a^2=1/4,
∴a^2=4,椭圆E的方程是x^2/4+y^2/3=1.①
(2)把x=t(0<t<2)代入①得y^2=3(1-t^2/4),MN/2=|y|,C(t,0),
∴圆C的方程是(x-t)^2+y^2=3(1-t^2/4),
令x=0得y^2=3-7t^2/4,|yA|=√(3-7t^2/4),
由OC垂直平分AB知
S△ABC=(1/2)AB*OC=√[t^2(3-7t^2/4)]
=√[(-7/4)(t^2-6/7)^2+9/7],
当t=√(6/7)时它取最大值3√7/7.