Question

数学填空题，要有过程

已知AB=2，P是线段AB上的动点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边三角形AEP和等边三角形PFB,连接EF，设EF的中点为G，连接PG，则PG的最小值为

Answer 1

根号3
若EF最短，则点P在AB中点上，△APE≌△BPF≌△EFP，切他们都是等边三角形。AP=BP=1，PE=1，PG垂直于EF，PG=根号3

追问

为什么EF最短，点P是AB的中点？

追答

此时EF平直，若在其他点上，EF就是斜的，可做一个直角三角形，斜边大于直角边，所以此时EF最短

Answer 2

 

关于为什么是ab中点，其实可以用几何证明，但我讨厌明摆的事还要证明，你的提问就已经直接的说明问题，EF无论是左斜还是右斜都是长于平行的时候

追问

这个怎么能证明P是AB的中点

追答

因为不规则的pef三角形与等边三角形的面积相等，所以任何三角形的一个顶点到对边的直线距离只有垂直时最短

 

追问

但没有定点来作对称点。只有定点才能作，但是E和F都是动点

Answer 3

取EP中点H，连接GH
则HP=EP/2=AP/2, HG=FP/2=BP/2， 则HP+HG=AP/2+BP/2=AB/2=1
角GHP=180°-角EPF=角EPA+角FPB=60°+60°=120°
则PG^2=PH^2+HG^2-2PH*HG*cos120°=PH^2+HG^2+PH*HG=PH^2+(1-PH)^2+PH(1-PH)=PH^2-PH+1=(PH-1/2)^2+3/4
则PG^2≥3/4
PG的最小值为(根号3)/2

追问

条件没有P是AB的中点，为什么PG最短，点P是AB的中点？

追答

看我写的过程 PG^2=(PH-1/2)^2+3/4，在PH=1/2的时候取到最小值。PH=1/2=AP/2，则AP=1=BP