Question

已知:如图,在平行四边形ABCD中,AC=BC,圆O是经过A,B,C三点的

已知:如图,在平行四边形ABCD中,AC=BC,圆O是经过A、B、C三点的圆，点P是弧BC上的一个动点（点P不与B，C重合），连接PA、PB、PC。

（1）判断CD与圆O的位置关系，并证明你的结论。
（2）①点P满足什么条件时，有△CPA≌△ABC，说明理由；
②请写出点P满足什么条件时，有BP⊥CD，说明理由。

Answer 1

（1）CD是圆的切线
证明：做CE⊥AB，分别交AB和圆于E，F点。
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD（平行四边形对边平行）
∴∠BAC=∠ACD
∵AC=BC（已知）
∴⊿ABC是等腰三角形（两边相等的三角形是等腰三角形）
∵CE⊥AB（所做）
∴AE=BE（等腰三角形底边垂线也是底边中线）
∴CF是圆的直径（垂直平分弦的弦是圆的直径）
∵∠BAC+∠ACF=90°（直角三角形的两个锐角和为90度）
∴∠ACD+∠ACF=90°（等量公理）
∴CD是圆的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）
（2）
①当AC=AP时，⊿CPA≌⊿ABC
证明：
∵AC=BC，AC=AP（已知）
∴∠ABC=∠ACB，∠APC=∠ACP（三角形中，等边对等角）
∵∠ABC=∠APC（同弧圆周角相等）
∴∠ACB=∠ACP时（等量公理）
∴⊿CPA≌⊿ABC（两边，两角相等，两三角形全等）
②当BP∥CF时（CF为所做的直径，见（1）。）BP⊥CD。
证明：
∵BP⊥CD（已知），CF⊥CD（CD是圆的切线，见（1）。）
∴BP∥CF（垂直于一条直线的两条直线平行）