Question

设实数a,b满足3(a^2)-10ab+8(b^2)+5a-10b=0,则u=9(a^2)+72b+2的最小值为

Answer 1

∵a，b满足3a²-10ab+8b²+5a-10b=0，
∴(3a-4b)(a-2b)+5(a-2b)=0，
(3a-4b+5)(a-2b) =0，
3a-4b+5=0，或a-2b=0，

若3a-4b+5=0，则a=(4b-5)/3，
U=9a²+72b+2
=16b²+32b+27
=16(b+1)²+11
∴当b= -1时，a= -3，U有最小值11；

若a-2b=0，则a=2b，
U=9a²+72b+2
=36b²+72b+2
=36(b+1)²-34
∴当b= -1时，a= -2，U有最小值-34；

综上，当a= -2，b= -1时，U有最小值-34.

Answer 2

注意到 3(a^2)-10ab+8(b^2)+5a-10b=（a-2b)(3a-4b+5)
所以 3(a^2)-10ab+8(b^2)+5a-10b=0
等价于 （a-2b)(3a-4b+5)=0 即 a-2b=0 或者 3a-4b+5=0
所以 u=9(a^2)+72b+2=36b^2+72b+2=36(b+1)^2-34 此时最小值为-34
或者 u=9(a^2)+72b+2=(4b-5)^2+72b+2=16(b+1)^2+11 此时最小值为 11
综上 u的最小值为-34，仅当 a=-2, b=-1时取得