Question

一道线性代数题 设A为正定矩阵，证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)

一道线性代数题
设A为正定矩阵，证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)

Answer 1

若A为正定矩阵的充要条件是A可以分解为可逆矩阵P的转置与P的乘积，也就是说A=P'P

我们看充分性，A‘=（P'P）’=P‘P，所以A对称。对称矩阵A=P'IP，所以
A和I合同，这也就是说A正定。必要性，由于A正定，A=P'IP，也就是A和I合同（P可逆）

现在A^k= (P'P)(P'P)……(P'P)可以拆成可逆矩阵和他的转置的乘积，无论k奇数还是偶数，这样就证明了A^k正定

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追问

后面 现在A^k ...那段没太看明白，能稍微解释一下吗？

追答

亲 答题不易 纯手打 先采纳吧~

追问

亲 做题不易 先解释一下吧