Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AD垂直AB,AB平行DC,AD=DC=AP=2,AB=1

点E为棱PC的中点。求直线BE与平面PBD所成角的正弦值：若F为棱PC上一点，满足BF垂直AC，求二面角F-AB-P的余弦值

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据

BE
•

DC
=0，可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量

BF
的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值．

解答：证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴

BE
=（0，1，1），

DC
=（2，0，0）
∵

BE
•

DC
=0，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵

BD
=（-1，2，0），

PB
=（1，0，-2），
设平面PBD的法向量

m
=（x，y，z），
由

m
•

BD
＝0

m
•

PB
＝0

，得

−x+2y＝0
x−2z＝0

，
令y=1，则

m
=（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ=

m
•

BE

|

m
|•|

BE
|

=
2

6

×

2

=

3

3
，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为

3

3
．
（Ⅲ）∵

BC
=（1，2，0），

CP
=（-2，-2，2），

AC
=（2，2，0），
由F点在棱PC上，设

CF
=λ

CP
=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故

BF
=

BC
+

CF
=（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得

BF
•

AC
=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，
解得λ=
3
4
，
即

BF
=（-
1
2
，
1
2
，
3
2
），
设平面FBA的法向量为

n
=（a，b，c），
由

n
•

AB
＝0

n
•

BF
＝0

，得

a＝0
−1
2
a+
1
2
b+
3
2
c＝0

令c=1，则

n
=（0，-3，1），
取平面ABP的法向量

i
=（0，1，0），
则二面角F-AB-P的平面角α满足：
cosα=
|

i
•

n
|

|

i
|•|

n
|

=
3

10

=
3
10

10
，
故二面角F-AB-P的余弦值为：
3
10

10

点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/4882c80e-0dea-4c42-bbbf-fe221a691486