Question

已知三棱锥两组对棱互相垂直，求证第三组对棱互相垂直。

Answer 1

已知三棱锥两组对棱互相垂直：

1、设三棱锥ABCD中AB⊥CD，AD⊥BC。

2、取三角形BCD的垂心H，延长BH交直线CD于E，延长DH交直线BC于F，则CD⊥面ABE，BC⊥面ADF。得到AH⊥CD，AH⊥BC。故AH⊥面BCD。

3、延长CH交BD于J，则BD⊥面ACJ。所以BD⊥AV。

4、已知三棱锥两组对棱互相垂直，则第三组对棱互相垂直。

5、三棱锥是锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体。三棱锥有六条棱长，四个顶点，四个面。底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥称作正三棱锥；而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。

6、若O是△ABC的垂心则有OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。又因为O是P的射影，由三垂线定理可知PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB。推广来看，从PA⊥BC可以联想到PA⊥平面PBC，而根据线面垂直的判定定理，PA⊥平面PBC的条件是PA⊥PB，PA⊥PC。同理，PB⊥PA，PB⊥PC；PC⊥PA，PC⊥PB。即PA、PB、PC两两垂直。

7、综上，可得到以下定理：当三棱锥的三条侧棱两两垂直（或每条侧棱都与所对的侧面垂直）时，顶点在底面的射影是底面三角形的垂心；当三棱锥有两条侧棱与对应的对边垂直时，第三组侧棱与对边也垂直，且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

Answer 2

已知：设三棱锥P-ABC，PB⊥AC，PC⊥AB，
求证：PA⊥BC
证明：作PH⊥平面ABC，垂足H，分别连结AH、BH、CH，与AB、BC、AC分别交于F、D、E点，
CH是PC在平面ABC的射影，且PC⊥AB，根据三垂线逆定理，CH（CF）⊥AB，
同理PB⊥AC，则BH（BE）⊥AC，
H是两条高线的交点，故H是三角形ABC的垂心，
故AD⊥BC，
AE是PA在平面ABC的射影，
根据三垂线定理，平面内直线若垂直其射影必也垂直该斜线，
∴PA⊥BC。

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