Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x2=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．（1）求线段AB中点P的轨迹方程；（

若斜率为2的动直线l与抛物线x2=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．（1）求线段AB中点P的轨迹方程；（2）若OA?OB≤60，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
点P（x，y），由

x2＝4y y＝2x+b

?x2?8x?4b＝0，（2分）
得

△＝(?8)2+4×4b＞0 x1+x2＝8 x1x2＝?4b

，依题意，

b＞?4 x＝ x1+x2 2 ＝4 y＝2× x1+x2 2 +b＝b+8＞4

（4分）
故所求的轨迹方程为x=4（y＞4）．（7分）
（2）由（1）知x1x2＝?4b，y1y2＝

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