Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率是______

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率是______．

Answer 1

设FA=x，GB=y，
则0≤x≤3，0≤y≤3，平面区域{（x，y）|0≤x≤3，0≤y≤3}对应的区域是正方形边长为3，面积S=9．
则tan∠FEA=

AF

AE

＝x，tan∠GEB=

BG

BE

＝y，
则tan（∠GEB+∠FEA）=

tan∠FEA+tan∠GEB

1?tan∠FEA?tan∠GEB

=

x+y

1?xy

，
若∠FEG为锐角，则等价为∠GEB+∠FEA是钝角，
即tan（∠GEB+∠FEA）=

x+y

1?xy

＜0，
即1-xy＜0，即y＞

1

x

，
作出对应的平面区域如图：
当y=3时，由

1

x

＝3，解得x=

1

3

，A（

1

3

，3），
当x=3时，y=

1

3

，即B（3，

1

3

），
则矩形ODAE的面积S=3×

1

3

＝1，
曲边四边形ACFB的面积S=

∫

3 1 3

1

x

dx═lnx|

3 1 3

=ln3-ln

1

3

=2ln3，
∴阴影部分的面积S=9-1-2ln3=8-2ln3，
（阴影部分的面积也可以这样求S＝

∫

3 1 3

(3?

1

x

)dx=(3x?lnx)

|

3 1 3

=8-2ln3，）
∴根据几何概型的概率公式可得∠FEG为锐角的概率

8?2ln3

9

，
故答案为：

8?2ln3

9