Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（E点和F点可以与A、B、C重合）以下结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S?AEPF=12S△ABC；④EF最长等于2AP．上述结论中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=PC=PB，∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠APB=∠APC=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
在△AEP和△CFP中

∠PAE＝∠C＝45° AP＝CP ∠APE＝∠CPF

∴△AEP≌△CFP，
同理△APF≌△BPE，
∴AE=CF，PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴S_△AEP=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF
=S_△CPF+S_△APF
=S_△APC
=

1

2

S_△ABC，
当E和A重合，F和C重合时，EF最长，此时EF=AC=

AP2+CP2

=

2

AP，
∴①②③④都正确，
即正确的有4个，
故选D．