Question

如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公

如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm. (1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

Answer 1

（1）y＝ ( ≤x≤ )（2）AP＝ km

(1)(解法1)如图，连结OP， 设∠AOP＝α，则 ≤α≤ . 在△AOP中，由余弦定理得x 2 ＝1 2 ＋2 2 －2×1×2cosα＝5－4cosα， 在△BOP中，由余弦定理得BP 2 ＝1 2 ＋2 2 －2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα， ∴BP 2 ＝10－x 2 ，∴y＝ . ∵ ≤α≤ ，∴ ≤x≤ ，∴y＝ ( ≤x≤ )． (解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA 2 ＝(m＋1) 2 ＋n 2 ，PB 2 ＝(m－1) 2 ＋n 2 . ∵m 2 ＋n 2 ＝4，PA＝x， ∴PB 2 ＝10－x 2 (后面解法过程同解法1)． (2)(解法1)y＝ ＝ [x 2 ＋(10－x 2 )] ＝ (5＋ )≥ (5＋2 )＝ ， 当且仅当 ，即x＝ ∈[ ， ]时取等号． 故当AP＝ km时，“总噪音影响度”最小． (解法2)由y＝ ，得 y′＝－ . ∵ ≤x≤ ，∴令y′＝0，得x＝ ，且当x∈ 时，y′<0；当x∈( ， ]时，y′>0.∴x＝ 时，y＝ 取极小值，也即最小值．故当AP＝ km时，“总噪音影响度”最小