已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足xf′(x)+2f(x)=lnxx,且f(e)=12e,则f(x)的单调性情况为
已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足xf′(x)+2f(x)=lnxx,且f(e)=12e,则f(x)的单调性情况为()A.先增后减B.单调递增C.单调递减D.先减...
已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足xf′(x)+2f(x)=lnxx,且f(e)=12e,则f(x)的单调性情况为( )A.先增后减B.单调递增C.单调递减D.先减后增
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∵xf′(x)+2f(x)=
,
∴x2f′(x)+2xf(x)=lnx
∴[x2f(x)]′=lnx,
∴x2f(x)=xlnx-x+c,
将x=e代入可得:
e2f(e)=elne-e+c,
∵f(e)=
,
∴c=
∴x2f(x)=xlnx-x+
,
∴f(x)=
∴f′(x)=
=
,
令g(x)=-xlnx+2x-e,
则g′(x)=1-lnx,
当x∈(0,e)时,g′(x)>0,x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,
故当x=e时,g(x)取最大值0,
故g(x)≤0恒成立,
故f′(x)≤0恒成立,
∴f(x)是减函数.
故选:C
lnx |
x |
∴x2f′(x)+2xf(x)=lnx
∴[x2f(x)]′=lnx,
∴x2f(x)=xlnx-x+c,
将x=e代入可得:
e2f(e)=elne-e+c,
∵f(e)=
1 |
2e |
∴c=
e |
2 |
∴x2f(x)=xlnx-x+
e |
2 |
∴f(x)=
2xlnx?2x+e |
2x2 |
∴f′(x)=
4x2lnx?8x2lnx+8x3?4ex |
4x4 |
?xlnx+2x?e |
x3 |
令g(x)=-xlnx+2x-e,
则g′(x)=1-lnx,
当x∈(0,e)时,g′(x)>0,x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,
故当x=e时,g(x)取最大值0,
故g(x)≤0恒成立,
故f′(x)≤0恒成立,
∴f(x)是减函数.
故选:C
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