Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，点E、F分别是棱AB、BC的中点，EF与BD

如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，点E、F分别是棱AB、BC的中点，EF与BD交于点G（1）求异面直线D1E和DC所成角的正切值；（2）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结AD₁．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD．
∴平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD₁A₁．
∴AB⊥AD₁．
由已知AD=2

2

，DD₁=4，
∴AD₁=

AD2+DD12

=2

6

．
而AE=

2

，
∴tan∠ADE₁=

AD1

AE

=2

3

．
∵CD∥AB．
∴DC与D₁E所成的角就是AB与D₁E所成的角，即∠D₁EA．
∴直线DC与D₁E所成的角为arctan2

3

；
（Ⅱ）连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．
又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁．
∵EF?平面EFB₁．
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．