Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x 2 +bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x 2 +bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）。（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1上， ∴2k+1=3． 解得k=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． ∵点A在x轴上， ∴A（﹣1，0）． ∵抛物线y=﹣x 2 +bx+c过点A、C， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2 +2x+3． （2）由y=﹣x 2 +2x+3=﹣（x﹣1） 2 +4，可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）． ∴E（1，2）． 根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E． 设直线l的解析式为y=mx+n． 将B、E的坐标代入y=mx+n中， 联立可得m=﹣1，n=3． ∴直线l的解析式为y=﹣x+3． ∵P（0，3）．过点E作ED⊥x轴于点D． ∴S △PAE =S △PAB ﹣S △EAB = AB·PO﹣ AB·ED= ×4×（3﹣2）=2． （3）存在，点F的坐标分别为（3﹣ ，0），（3+ ，0）， （﹣1﹣ ，0）（﹣1+ ，0）．