Question

已知数列{a n }和{b n }满足a 1 =λ，a n+1 = a n +n-4，b n =（-1） n （a n -3n+21），其中λ为实数，

已知数列{a n }和{b n }满足a 1 =λ，a n+1 = a n +n-4，b n =（-1） n （a n -3n+21），其中λ为实数，n为正整数，（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b n }是等比数列；（Ⅲ）设S n 为数列{b n }的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S n ＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 2 2 =a 1 a 3 ， 即（ ） 2 = 2 矛盾， 所以｛a n ｝不是等比数列。 （Ⅱ）证明：∵ ， 又λ≠-18， ∴ ， 由上式知 ， ∴ ， 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以-（λ+18）为首项， 为公比的等比数列。 （Ⅲ）解：当λ≠-18时，由（Ⅱ）得 ， 于是 ， 当λ=-18时， ，从而 ，上式仍成立. 要使对任意正整数n，都有S n ＞-12， 即 ， 令 ，则 当n为正奇数时， ；当n为正偶数时， 1； ∴f（n）的最大值为 ， 于是可得 ， 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S n ＞-12， λ的取值范围为 。