Question

已知函数f(x)＝2x?a ， x≥0f(x+1)， x＜0，若方程f（x）+x=0有且仅有两个解，则实数a的取值范围是_____

已知函数f(x)＝2x?a ， x≥0f(x+1)， x＜0，若方程f（x）+x=0有且仅有两个解，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

我们先研究g（x）=

2x?2，x≥0 g(x+1)，x＜0

，
①当x≥0时，f（x）=2^x-2，
②当-1≤x＜0时，0≤x+1＜1，g（x）=g（x+1）=2^（x+1）-2．
当-2≤x＜-1时，0≤x+2＜1，g（x）=g（x+2）=2^（x+2）-2．
故x＜0时，f（x）是周期函数，如图，
此时函数g（x）与y=-x的图象恰有一个交点
因为函数f(x)＝

2x?a ，  x≥0 f(x+1)， x＜0

，的图象是由g（x）=

2x?2，x≥0 g(x+1)，x＜0

向上平移2-a个单位． 
若方程f（x）+x=0有且只有两个不相等的实数根，
则2-a＞0，即a＜2                               
故答案为：a＜2．