Question

一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知圆周运动的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，行星半

一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知圆周运动的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，行星半径为R，试求（用题中已知量表示）：（1）行星的质量M；（2）物体在该行星表面附近做自由落体运动时的加速度a；（3）卫星围绕该行星做匀速圆周运动时的最大速度Vm．

Answer 1

（1）行星对飞船的万有引力提供飞船所需向心力：G

Mm

r2

＝m(

2π

T

)2r
解得    M＝

4π2r3

GT2

（2）根据万有引力等于重力得：G

Mm

R2

＝mg＝ma
解得  a＝

GM

R2

＝

4π2r3

R2T2

（3）卫星在行星附近作匀速圆周运动时的速度最大，即第一宇宙速度：G

Mm′

R2

＝m′

v2

R

    v＝

GM R

＝

4π2r3 RT2

答：（1）行星的质量M＝

4π2r3

GT2

．
（2）物体在该行星表面附近做自由落体运动时的加速度为

4π2r3

R2T2

．
（3）卫星围绕该行星做匀速圆周运动时的最大速度为

4π2r3 RT2

．