Question

（2010?江西）如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线A

（2010?江西）如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（　　）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③

Answer 1

直线AB与B₁C₁ 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C₁C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B₁C₁交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．

所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B₁C₁都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直，此垂线就是棱DD₁，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B₁C₁都相交，故 ③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选  C．