Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明AE⊥平面PCD．

Answer 1

（1）解：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA．
因为CD⊥AC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．
又AE?平面PAC，所以AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．
又PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD．