Question

设函数f （x）=2cosx （cosx+3sinx）-1，x∈R．（1）求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；（2）在△AB

设函数f （x）=2cosx （cosx+3sinx）-1，x∈R．（1）求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；（2）在△ABC中，C=90°，求f （A）的取值范围．

Answer 1

（1）∵f （x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1
=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
=cos2x+

3

sin2x…3′
=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，…4′
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，…7′
（2）由已知得A∈（0，

π

2

），
f（A）=2sin（2A+

π

6

），
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，…9′
故-1＜f（A）≤2，
∴f（A）≤∈（-1，2]…12