Question

某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元

某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-km+1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（Ⅰ） 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（Ⅱ） 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

（1）由题意可知，当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-

2

m+1

，
每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

（万元），
∴利润函数y=x×1.5×

8+16x

x

-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3-

2

m+1

）-m=-[

16

m+1

+(m+1)]+29（m≥0），
（2）当m≥0时，

16

m+1

+(m+1)≥2

16 m+1 ×(m+1)

=8
y≤-8+29=21，当且仅当

16

m+1

＝m+1，即m=3（万元）时，y_max=21（万元）．
所以，该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．