Question

如图，已知△ABD和△AEC中，AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，CD、BE相交于点P．（1）△ABE经过怎样的运

如图，已知△ABD和△AEC中，AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，CD、BE相交于点P．（1）△ABE经过怎样的运动可以与△ADC重合；（2）用全等三角形判定方法证明：BE=DC；（3）求∠BPC的度数；（4）在（3）的基础上，小智经过深入探究后发现：射线AP平分∠BPC，请判断小智的发现是否正确，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴△ABE绕点A顺时针方向旋转60°可以与△ADC重合；
（2）证明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE与△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（3）解：∵△ABE≌△ADC
∴∠ABE=∠ADC，
设BE与DC相交于F，
∴∠AFD=∠PFB，
∴∠BPD=∠DAB=60°，
∴∠BPC=120°；
（4）证明：作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
在△AMD与△ANB中，

∠ABE=∠ADC ∠AMD=∠ANB=90° AD=AB

∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
在RT△AMP与RT△ANP中

AM=AN AP=AP

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴∠APM=∠APN，
∴PA平分∠DPE．