Question

已知函数f（x）=lg1+x1+ax（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+21+2x，x∈（-1，1），

已知函数f（x）=lg1+x1+ax（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+21+2x，x∈（-1，1），求g（12）+g（-12）的值．

Answer 1

（1）因为函数f（x）=lg

1+x

1+ax

是奇函数；
所以：f（-x）+f（x）=0?lg

1+x

1+ax

+lg

1?x

1?ax

=0?lg

1?x2

1?a2x2

=0?

1?x2

1?a2x2

=1．
∴a=±1，又a≠1，
∴a=-1．
（2）∵g（x）=f（x）+

2

1+2x

，且f（x）为奇函数，
∴g（

1

2

）+g（-

1

2

）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）+

2

1+2 1 2

+

2

1+2? 1 2

=2（

2

-1）+

2 2

2 +1

=2．