Question

设a∈R，且a≠2，函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求函数f（x）的定义域；?（2）讨论函数f（x）的单

设a∈R，且a≠2，函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求函数f（x）的定义域；?（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数，则有f（-x）=-f（x）…（2分）
即lg

1?ax

1?2x

=-lg

1+ax

1+2x

，得lg

1?ax

1?2x

=lg

1+2x

1+ax

，所以a=-2…（4分）
所以f（x）=lg

1?2x

1+2x

，得

1?2x

1+2x

＞0，解得?

1

2

＜x＜

1

2

，
即函数f（x）的定义域为（?

1

2

，

1

2

）…（6分）
（2）令u(x)＝

1?2x

1+2x

，则u′(x)＝

?2(1+2x)?(1?2x)2

(1+2x)2

＝

?4

(1+2x)2

…（8分）
则u'（x）＜0在（?

1

2

，

1

2

）上恒成立，所以u（x）在（?

1

2

，

1

2

）上为单调减函数，
又y=lgu在（0，+∞）上为增函数…（10分）
所以f（x）=lg

1?2x

1+2x

在（?

1

2

，

1

2

）为单调减函数．…（12分）