Question

关于函数f（x）=lgxx2+1，有下列结论：①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；②函数f（x）是奇函数；③函数

关于函数f（x）=lgxx2+1，有下列结论：①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的最大值为-lg2；④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．其中正确结论的序号是______．（写出所有你认为正确的结论的序号）

Answer 1

∵函数f（x）=lg

x

x2+1

有意义，∴

x

x2+1

＞0，∴x＞0，∴f（x）的定义域是（0，+∞），①正确；
∵f（x）的定义域是（0，+∞），∴f（x）是非奇非偶的函数，②不正确；
函数f（x）=lg

x

x2+1

中，设t=

x

x2+1

，则tx²-x+t=0，由（-1）²-4t?t≥0，得-

1

2

≤t≤

1

2

，只取0＜t≤

1

2

，∴t=

1

2

时，f（x）有最大值为-lg2，③正确；
又t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，当且仅当x=

1

x

，即x=1时“=”成立，∴在0＜x＜1时，t是增函数，f（x）也是增函数；
在x＞1时，ts是减函数，f（x）也是减函数；④正确．
故答案为：①③④．