Question

如图1，AD为⊙O的直径，B、C为⊙O上两点，点C在AB上，且AB＝CD，过A点作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，

如图1，AD为⊙O的直径，B、C为⊙O上两点，点C在AB上，且AB＝CD，过A点作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，过点E作DC的垂线，垂足为点F．（1）求证：∠AED=∠ADF；（2）探究BD、BE、EF三者之间数量关系，并证明；（3）如图2，若点B在AC上，其余条件不变，则BD、BE、EF三者之间又有怎样的数量关系？请证明；（4）在（3）的条件下，当AE=3，⊙O半径为2时，求EF的长．





Answer 1

（1）连接AC，如图1．
∵

AB

＝

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴∠ADF=∠DAB．
∵AE与⊙O相切于点A，∴∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，
∴∠AED=90°-∠ADB=∠DAB=∠ADF﹒

（2）BD=BE-EF．
证明：连接AB、AC，过点E作EP⊥AC，交AC的延长线于点P，如图1′．
∵AD是⊙O的直径，AE与⊙O相切于点A，
∴∠ABD=∠ACD=∠DAE=90°，
∴∠PAE=90°-∠DAC=∠ADF，
∵∠AED=∠ADF（已证），
∴∠PAE=∠AED．
在△AEP和△EAB中，

∠APE＝∠EBA ∠PAE＝∠AEB AE＝EA

，
∴△AEP≌△EAB（AAS），
∴AP=EB．
∵EF⊥DF，∠PCF=∠ACD=90°，∠P=90°，
∴∠F=∠PCF=∠P=90°，
∴四边形PEFC是矩形，
∴EF=CP．
∵

AB

＝

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴BD=AC，
∴BD=AC=AP-CP=BE-EF．

（3）BD=BE+EF．
证明：连接AC、AB，过点A作AM⊥EF，交FE的延长线于点M，如图2．
则有∠M=90°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠DAE=90°，
∴∠BAE=90°-∠DAB=∠ADB．
∵∠F=∠ACF=∠M=90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AC=MF，∠CAM=90°，
∴∠MAE=90°-∠CAE=∠DAC，
∵

AB

＝

CD

，
∴∠ADB=∠DAC，
∴∠BAE=∠ADB=∠DAC=∠MAE．
在△AME和△ABE中，

∠M＝∠ABE＝90° ∠MAE＝∠BAE AE＝AE

，
∴△AME≌△ABE（AAS），
∴ME=BE
∵

AB

＝

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD，
∴BD=AC=MF=ME+EF=BE+EF．

（4）∵∠DAE=90°，AE=3，AD=4，
∴DE=5，
∴AB=

AD?AE

DE

=

4×3

5

=

12

5

．
∴BD=

AD2?AB2

=

16

5

，
∴BE=DE-BD=5-

16

5

=

9

5

，
∴EF=BD-BE=

16

5

-

9

5

=

7

5

．
∴EF的长为

7

5

．