Question

求函数f(x)=x²+ax+3,x∈【-2，2】的值域

拜托了！！

Answer 1

f(x)= x² + ax + 3
= (x + a/2) + 3 - a²/4
对称轴 x = -a/2

当 -a/2 < -2 ，即a > 4 时
f min = f(-2) = 7 - 2a
f max = f( 2) = 7 + 2a
所以值域是[7 - 2a , 7 + 2a]

当 -a/2 > 2 ，即a < -4 时
f min = f( 2) = 7 + 2a
f max = f(-2) = 7 - 2a
所以值域是[7 + 2a , 7 - 2a]

当 -2 ≤ -a/2 ≤ 0 ，即 0 ≤ a≤ 4 时
f min = f(-a/2) = 3 - a²/4
f max = f( 2 ) = 7 + 2a
所以值域是[3 - a²/4 , 7 + 2a]

当 0 < -a/2 ≤ 2 ，即 -4 ≤ a < 0 时
f min = f(-a/2) = 3 - a²/4
f max = f( -2 ) = 7 - 2a
所以值域是[3 - a²/4 , 7 - 2a]

Answer 2

这个要对a的取值讨论。

对称轴：x = -a/2

当-a/2 < -2 即 a > 4时，最小值 = f(-2) = 7 - 2a，最大值 = f(2) = 7 + 2a
当-a/2 > 2 即 a < -4时，最小值 = f(2) = 7 + 2a，最大值 = f(-2) = 7 - 2a
当 -4 <= a <= 0时，最小值 = f(-a/2) = 3 - a^2 / 4，最大值 = f(-2) = 7 - 2a
当 0 < a <= 4时，最小值 = f(-a/2) = 3 - a^2 / 4，最大值 = f(2) = 7 + 2a

所以值域：
a > 4时，7 - 2a <= f(x) <= 7 + 2a
a < -4时，7 + 2a <= f(x) <= 7 - 2a
-4 <= a <= 0时，3 - a^2 / 4 <= f(x) <= 7 - 2a
0 < a <= 4时，3 - a^2 / 4 <= f(x) <= 7 + 2a

Answer 3

f(x)=x²+ax+3，f(x)是一元二次函数，图像是抛物线，其对称轴x=-a/2，开口向上
讨论：
1.若2＜-a/2，a＜-4区间在对称轴左边
f(x)max=f(-2)=4-2a+3=-2a+7,f(x)min=f(2)=4+2a+3=2a+7
2.若-2＞-a/2,a＞4，区间在对称轴右边
f(x)max=2a+7,f(x)min=-2a+7
3.若-2≤-a/2≤2，
f(x)min=f(-a/2)=3-0.5a²,f(x)max=f(2)或f(-2),(对二者进行大小比较，大的为f（x)max),

Answer 4

此题关键是考二次函数的定义区间与对称轴相互位置关系来确定其取值情况以及二次函数部分大调性的，一般来说：1、开口向上的二次函数，对称轴左边单调递减，右边单调递增；然后分定义区间在对称轴左中右情况，而在中间则要确定这个定义区间的中心在左还是在右，在做就是左端点最大，在右就是右端点最大，最小值为顶点。
2、开口向下的二次函数，对称轴左边单调递增，右边单调递减；然后分定义区间在对称轴左中右情况，而在中间则要确定这个定义区间的中心在左还是在右，在左就是左端点最小，在右就是右端点最小，最大值为顶点。
楼主把这个总结后，以后碰到此类问题绝不会再头疼了：）

这个要对a的取值讨论。

对称轴：x = -a/2，开口向上

当-a/2 < -2 即 a > 4时，最小值 = f(-2) = 7 - 2a，最大值 = f(2) = 7 + 2a
当-a/2 > 2 即 a < -4时，最小值 = f(2) = 7 + 2a，最大值 = f(-2) = 7 - 2a
当 -4 <= a <= 0时，最小值 = f(-a/2) = 3 - a^2 / 4，最大值 = f(-2) = 7 - 2a
当 0 < a <= 4时，最小值 = f(-a/2) = 3 - a^2 / 4，最大值 = f(2) = 7 + 2a

所以值域：
a >4时，7 - 2a <= f(x) <= 7 + 2a
a < -4时，7 + 2a <= f(x) <= 7 - 2a
-4 <= a <= 0时，3 - a^2 / 4 <= f(x) <= 7 - 2a
0 < a <= 4时，3 - a^2 / 4 <= f(x) <= 7 + 2a