Question

高二不等式

已知f(x)=√(1+x^) 当a不等于b时 求证 |f(a)-f(b)|<=|a-b|

Answer 1

1，假设a^>=b^,只需证明 f(a)-f(b)<=| a-b|,
①又假设a>b,只需证√1+a^-√1+b^<=a-b,
即a-√1+a^>=b-√1+b^（*）成立;
构造y=x-√1+x^，可证y为减函数；所以（*）成立；所当a^>=b^且a>b时，命题成立；
②a<b时；只需证√1+a^-√1+b^<=b-a（*）;即证a+√1+a^<=B+√1+b^；
构造y=x+√1+x^，可证y为赠函数；所以（*）成立；所当a^>=b^且a>b时，命题成立；
2，同理可得a^<b^,命题成立；
所以当a不等于b， |f(a)-f(b)|<=|a-b| 总成立。
注：本题注重逻辑分析能力。