Question

已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x，求函数f(x)的解析式。

Answer 1

因为已知是二次函数
所以设f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0）

因为f(0)=1，所以f(0)=c=1
所以c=1
所以f(x)＝ax^2+bx+1

因为f(x+1)-f(x)=2x
代入得：
a（x+1）^2+b（x+1）+1－（ax^2+bx+1）=2x
化简得：
2ax+a+b＝2x
所以
2a＝2 且 a+b＝0
所以a＝1 b＝－1

所以f(x)＝x^2-x+1

Answer 2

f(x)=x^2-x+1,
设f(x)=ax^2+bx+c,由f(0)=1可知c=1,
当x=1时，f(2)-f(1)=2, f(2）=4a+2b+1,f(1)=a+b+c,
=>3a+b=2
当x=2时，f(3)-f(2)=4, f(3)=9a+3b+1,f(2）=4a+2b+1
=>5a+b=4
所以上两方程可解得a=1,b=-1