Question

在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=a,PD=a,PA=PC=根号2a,求:PD⊥平面ABCD

Answer 1

∵AB=CD=DA=a，PD=a，PA=PC=a√2
∴AD²+PD²=PA²，CD²+PD²=PC²
∴PD⊥AD，PD⊥CD
∴PD⊥平面ABCD

Answer 2

1、底面ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=a,
PD=a，AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,
根据勾股逆定理，
△APD是RT△，
同理△PCD是RT△，
AD∩CD=D，
∴PD⊥平面ABCD。
2、连结底面对角线AC、BD，
则AC⊥BD，
由前所述，PD⊥平面ABCD，
根据三垂线定理，
∴PB⊥AC。
3、过PB中点F作FO⊥底面ABCD，垂足O，则O是对角线AC和BD交点，连结AF，
PB=√3a,则〈PAB=90度，〈PCB=90度，
S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,
S△FAB==√2a^2/4,
S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,
设二面角A-PB-D平面角为θ，
S△FOB=S△FAB*cosθ,
cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,
θ=60度。
二面角A—PB—D为度。
4、设内切球半径为r,内切球心为I,
则I至各平面距离为r,
连结I至多个顶点连线，把四棱锥分成5个小三棱锥，5个小三棱锥体积之和等于大四棱锥的体积。
r*(a^2/2+a^2/2+√2a*a/2+√2a*a/2+a^2)/3=a^2*a/3,
r=(2-√2)a.
最大球即是内切球，最大半径为(2-√2)a。
5、因△PAB、△PBC，△PDB都是以PB为斜边的RT△，
从PB中点F至A、B、C、D距离均是PB/2，
PB=√3a,
四棱锥外接球的半径R=PB/2=√3a/2.