Question

关于数列的问题

数列{an}满足a1+3a2+3^2a3+……3^n-1an=n/3,，【1】求{an}通项公式
【2】设bn=n/an，求{bn}前n项和sn
快的加分

Answer 1

1）a1+3a2+3^2a3+……3^n-1an=n/3
下标换为n-1得到
a1+3a2+3^2a3+……3^n-2an-1=（n-1）/3
两式相减得到3^n-1an=1/3
所以an=1/3^n
2)bn=n/an=n*3^n
Sn=1*3+2*3^2+3*3^3+...+(n-1)3^(n-1)+n*3^n
同时乘3得到
3Sn= 1*3^2+2*3^3+...+(n-2)3^(n-1)+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
两式做差得到：
-2Sn=(3+3^2+3^3+...+3^n)-n*3^(n+1)
=3(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+1)
所以
Sn=(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4