Question

设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)*f(n)，

设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)*f(n)，且当x大于0时，0小于f（x）小于1 求证：（1）f（0）=1且当x小于0时，f（x）大于1（2）f（x）在r上是减函数
在做一道

Answer 1

补充问题：
1，代入y=0，得到f(x)+f(0)=f(x),所以f（0）=0
2：代入y=-x,得到f（x）+f（-x）=f（0）=0；f(x)=-f(-x)(证明是奇函数)
3：假设y>x>0
f(y)-f(x)=f(y)+f(-x)=f(y-x)，由假设知y-x>0，又知当x>0时,f(x)<0，所以f（y）-f(x)<0,结合奇函数特征可知，f（x）在R上是减函数
4,由题3知，max=f(-3),min=f(6),
f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3*(-2/3)=-2,
f(-3)=-f(3)=2
f（6）=f（3）+f（3）=-4
所以
最大值为2（x=-3时取到）
最小值为-4（x=6时取到）

Answer 2

(!)令m=0 n=1,所以f(1)=f(1)f(0)
因为0<f(1)<1,所以f(0)=1
令m=t,n=-t,所以f(0)=f(t)+f(-t)
所以1=f(t)+f(-t)所以f(t)<1