Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=0

当x属于[-1,1]时，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的范围

Answer 1

令f(x)=ax²+bx+c
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c
=2ax+a+b
即2ax+a+b=2x
所以2a=2 ,b+a=0即a=1,b=-1
f(0)=c=1
所以f(x)=x²-x+1=(x-1/2)²+3/4
在区间【-1，1】上值域[3/4,3]
y=f(x)的图像恒在y=2x+m上方
则x²-x+1>2x+m即x²-3x+1-m>0恒成立
△=9-4(1-m)<0
解得m<-5/4

Answer 2

f（x）=ax^2+bx+c
f(0)=0+c=c=1
c=1

f(x+1)=ax^2+2ax+a+bx+b+1=ax^2+(2a+b)x+(a+b+1)
f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)=2x
2a=2,a=1
a+b=0,b=-a=-1

f(x)=x^2-x+1

2.
f(x)>2x+m
m<f(x)-2x=x^2-3x+1=(x-3/2)^2-5/4.在[-1,1]上恒成立.
设g(x)=(x-3/2)^2-5/4在[-1,1]单调减函数,故最小值是g(1)=-1.
所以,m的范围是m<-1.