Question

设函数f(x)=e^x+ln(x+1)-ax

(1)当a=2时，判断函数f(x)在定义域内的单调性；

（2）当x》0时，f(x)》cosx恒成立，求实数a的取值范围。
需要详细的过程。

Answer 1

f(x)=e^x+ln(x+1)-ax 定义域x>-1
f'(x)=e^x+1/(x+1)-a
(1)f'(x)=e^x+1/(x+1)-2
驻点x=0
x∈(-1,0) f'(x)<0 为单调递减区间
x∈(0,+∞) f'(x)>0 为单调递增区间
(2)令g(x)=e^x+ln(x+1)-ax-cosx x>0
g'(x)=e^x+1/(x+1)-a+sinx
令h(x)=g'(x)=e^x+1/(x+1)-a+sinx x>0
h'(x)=e^x-1/(x+1)²+cosx>e^x-1+cosx
∵(e^x-1+cosx)'=e^x-sinx>0
∴e^x-1+cosx单调递增
e^x-1+cosx>eº-1+1=1
∴h'(x)>0 h(x)=g'(x)单调递增
g'(x)>g'(0)=2-a
∴a≤2时 g'(x)>0 g(x)单调递增
g(x)>g(0)=0
∴a的取值范围是a≤2