Question

已知函数f(x)对于任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y) 恒成立，且当x>1时，f（x）>0,

已知函数f(x)对于任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y) 恒成立，且当x>1时，f（x）>0,(1)求证y=f(x)为偶函数(2)解不等式：f(x)+f(x-1/2)<=0

Answer 1

1：取x=1，y=1，可得f（1）=2f（1）=>f（1）=0；
再取x=-1，y=-1，可得f（1）=2f（-1）=>f（-1）=0；
取y=-1，可得f（-x）=f（-1）+f（x）=>f(x)=f(-x),命题得证

2：当x>1时，f（x）>0，结合偶函数特征知，当x<-1时，f（x）>0
f(x)+f(x-1/2)=f[(x-1/4)^2-1/16]<=0 => (x-1/4)^2-1/16∈[-1,0)U(0,1]
解得x∈[（1-根号17）/4,0）U（0，（1+根号17）/4]

Answer 2

1、定义域为非零实数，定义域对称
令x=1，y=1
则f（1）=0，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,f(-1)=0
f（-x）=f(-1)+f(x)=f(x)
根据定义判定函数为偶函数
2、f(x)+f(x-1/2)=f（x^2-1/2x）≤0
题意知，f（x）+f（1/x）=f（1）=0
令x1，x2在定义域上，x2〉x1>0，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（1/x1）
=f（x2/x1）>0(x2/x1>1)，则函数在（0，+∞）为增函数
根据偶函数的性质知道
函数在（∞，0）为减函数。
则为0<x^2-1/2x<1或者0>x^2-1/2x〉-1
解得x∈[（1-√17）/4,0）U（0，（1+√17）/4]

Answer 3

（1）设y=1，x=1得到，f(1)=0
设y=-1，x=-1得到，f(-1)=0
设y=-1，所以f(-x)=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x)，即为偶函数
（2）原式=f(x²-1/2x）<=0
所以x²-1/2x∈[-1,0)∪(0,1]
解得x∈[（1-√17）/4,0）U（0，（1+√17）/4]