Question

定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意实数a,b有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)

定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意实数a,b有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求f（x）的解析式。

求详解~~

Answer 1

观察f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）
已知f（0）=1
所以尽量凑出f（0)然后代入f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）
1、 令a=0，
则f（-b）=f（0）-b（-b+1），
所以f（x）=X^2+X+1
因为定义域为R
所以可以将其中的字母任意赋值，等式都成立
2、也可以令a-b=0
所以a=b
代入 则f（0)=f(a-b+b）-b（-b+1)
f(a)=f（0）+b（-b+1）
因为a=b
所以f(b)=1+b（-b+1）
结果还是f（x）=X^2+X+1
3、令b=0
代入则f(a)=f(a)
做不下去了

其实这里的整式都可以用任意实数代入 得到一个等式 只是有些求得出答案 有些求不出

Answer 2

应该是在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意实数a,b有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)吧
当B=A的时候有
F(A-B)=F(0)=F(A)-A(2A-A+1)
==>1=F(A)-A^2-A
==>F(A)=A^2+A+1
所以F(X)=X^2+X+1