Question

泰勒级数，马克劳林级数收敛问题

1.教材上说道：
f(x)可展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零。如果存在一个泰勒级数，那么这个泰勒级数在某一数的邻域内一定收敛于这个函数f(x)吗？
2.教材里还有一段：
“f(x)的麦克劳林级数在点x0的某邻域内收敛，它却不一定收敛于f(x)。因此f(x)在x0=0处具有各阶导数，则f(x)虽能做出来，但这个级数是否能在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察。”f(x)的麦克劳林级数在x0=0邻域内收敛，那么不就是说明级数收敛于以x0为心，ε为半径的区间上的函数s(x)吗,s(x)不一定为f(x)吗?
3.只有f(x)先能展开成泰勒级数，才有麦克劳林级数的展开，并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x).请高手解答，谢谢。

Answer 1

1.如果存在一个泰勒级数，那么这个泰勒级数在某一数的邻域内一定收敛于这个函数f(x)吗？
答：不一定。事实是，如果由一个f(x)，得到了它所对应的泰勒级数，而且，这个泰勒级数是收敛的，在这种情况下，并不能保证这个泰勒级数一定收敛于这个函数f(x)。换句话理解，就是，这个收敛的泰勒级数的和函数有可能是另一个不同于f(x)的s(x)。那么，保证这个收敛的泰勒级数收敛于这个函数f(x)，即，以f(x)为其和函数所需要的充要条件，就是“f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零”。我们把，这个泰勒级数收敛，并且收敛于这个函数f(x)，叫做“f(x)可展开成泰勒级数”。注意这就是“可展开成”的含义。
2.答：如果f(x)在x0=0处具有各阶导数，那么，可以作出f(x)所对应的麦克劳林级数，仅此而已。至于“该级数是否能在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)，却需要进一步考察。”再进一步说，即使该级数收敛于函数s(x)，s(x)也不一定就是f(x)，此同问题1。
3“只有f(x)先能展开成泰勒级数，才有麦克劳林级数的展开，并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话有误。
一是展开成泰勒级数，或者麦克劳林级数，并没有先后之关系。所谓泰勒级数，是对于一般性的x0讨论的；而麦克劳林级数，是当x0=0时的情况。所以，麦克劳林级数是泰勒级数的特例而已。例如对于泰勒级数的x0，可以考虑取x0=4，等等。
二是对于“并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话，同问题2与1的解答，即，作出f(x)所对应的级数；该级数是否收敛；是否收敛于f(x)，这是3件事。