Question

a1=1,an+1=3an+n^2+n则an=? a1=1,an+1=3an+6^n,an=? a1=2,an*an+1=r^n,an=?

a1=1,an+1=3an+n^2+n则an=?
a1=1,an+1=3an+6^n,an=?
a1=2,an*an+1=r^n,an=?(r是常数）

Answer 1

(1) a(n+1)=3an+n²+n
设a(n+1)+k(n+1)²+p(n+1)+q=3(an+kn²+pn+q)
即a(n+1)+kn²+(2k+p)n+(k+p+q)=3an+3kn²+3pn+3q
∴a(n+1)=3an+2kn²+(2p-2k)n+(2q-k-p)=0
∴2k=1
2p-2k=1
2q-k-p=0
解得
k=1/2，p=1，q=3/4
∴a(n+1)+(n+1)²/2+(n+1)+3/4=3(an+n²/2+n+3/4)

令bn=an+n²/2+n+3/4，则b(n+1)=3bn, b1=a1+1/2+1+3/4=13/4
{bn}是首项为13/4，公比为3的等比数列
∴bn=b1*q^(n-1)=(13/4)*3^(n-1)=(13/12)*3^n
∴an=bn-n²/2-n-3/4=(13/12)*3^n-n²/2-n-3/4

(2)a(n+1)=3an+6^n
两边同时除以6^(n+1)，得
a(n+1)/6^(n+1)=(1/2)(an/6^n)+1
∴[a(n+1)/6^(n+1)]-2=[(an/6^n)-2]/2

令bn=(an/6^n)-2, 则b(n+1)=bn/2, b1=a1/6-2=-11/6
{bn}是首项为-11/6，公比为1/2的等比数列
∴bn=b1*q^(n-1)=(-11/6)*(1/2)^(n-1)=-11/(3*2^n)
∴an=6^n(bn+2)=6^n[2-11/(3*2^n)]=2*6^n-11*3^(n-1)

(3) an*a(n+1)=r^n
a(n-1)*an=r^(n-1)
a(n+1)/a(n-1)=r

把{an}拆分成奇数项数列{bn}={a(2k-1)}和偶数项数列{cn}={a(2k)}
则b1=a1=2, c1=a2=r/a1=r/2
{bn}是首项为2，公比为r的等比数列
{cn}是首项为r/2，公比为r的等比数列

∴bn=b1*q^(n-1)=2*r^(n-1)
cn=c1*q^(n-1)=(r/2)*r^(n-1)=(r^n)/2
∴an=2*r^(n-1), 当n为奇数
an=(r^n)/2, 当n为偶数