Question

设函数f(x)对任意xy∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0,f(x)＜0,f(1)=-2,Ⅰ证明F(X)是奇函数

Ⅱ证明F(x)在R上是减函数。

Answer 1

(1)令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)，f(0)=0，再令x=-y,代入f(x+y)=f(x)+f(y)，得f(0)=f(x)+f(-x),所以是奇函数。
（2）因为x＞0,f(x)＜0，f(2)=f(1)+f(1)=-4，以此类推可得，所以x＞0时，f(x)的值单调递减，又因为F(x)是奇函数，根据其性质，可知F(x)在R上是减函数。